tkenichi の日記

毒舌皮肉系恥さらし日記

72の法則

昨日の日記に書いた「珠玉のプログラミング」にも出てくる話で思い出したこと。

72の法則というのは、複利計算で年利 r% のときに、72/r 年で約2倍になるという近似計算の話。まあ、これを複利計算の定義だと勘違いしていた学生もいたけど。

0.1% では約2.05倍になるし、10%では約1.98倍。30%では約1.88倍だから近似としては悪くない。実際の金利計算としては、10%以上になることは考えられないから。

これは lim(x→0) (1+x)1/xネピア数(約2.71828)に結構早く収束する、という事実を使っている。72 という数字は、(1+r/100)a/r = 2 となるような a ということ。実際に左辺を (1+r/100)100/r・a/100 ≒ ea/100で近似すれば ea/100 = 2 を解いて、a = 約69.3147 となる。なので、 r が十分 0 に近い時は 70 の法則の方が近似は良くなる。72の法則が一番フィットするのは r = 8 の近傍で、 r = 2 の近傍では 70 の法則のほうがフィットする。 今の低金利時代では 70 の法則と覚えることにしよう。2% の場合72の法則だと 36 年で2倍になるという計算が 35 年で2倍になる、になった。あんまり意味はないけど。