７点からなる４面体の体積に関する公式

はじめにちょっと前回の補足。証明すべき式

$\det[a_1,a_2] \det[a_3,a_4] \\ + \det[a_1,a_3] \det[a_4,a_2] \\ + \det[a_1,a_4] \det[a_2,a_3] \\ = 0$

は

$\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42} \\ a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42} \end{array} \right)$

の Laplace 展開だとしたけれど、それはちょっとうそで、下の行列式を展開すると、上の式の各項が２回ずつ出てくる。全体を２で割れば等価なのだけれど、今日の話との見通しをつけるために、 $a_1$ に関する項が Laplace 展開の最初にしか出てこないように、

$\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42} \\ 0 & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ 0 & a_{22} & a_{32} & a_{42} \end{array} \right)$

の Laplace 展開としよう。この行列式が0になるのは1行目から3行目を引き、2行目から4行目を引く行基本変形を考えれば明らか。

ちなみに

$\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42} \\ 0 & 0 & a_{31} & a_{41} \\ 0 & 0 & a_{32} & a_{42} \end{array} \right)$

とまでしてしまうと、この行列式は必ずしも0とは限らなくなるから、公式は導けない。

さて、この Laplace 展開を拡張して、4面体の体積に関する公式を作ろう。 $a_1,\cdots,a_6$ を3次元空間内の6点とする。それぞれを3次元ベクトルとして $a_i = (a_{i1},a_{i2},a_{i3} )$ とあらわす。このとき、次の行列

$\left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} & a_{51} & a_{61} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42} & a_{52} & a_{62} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{43} & a_{53} & a_{63} \\ 0 & a_{21} & a_{31} & a_{41} & a_{51} & a_{61} \\ 0 & a_{22} & a_{32} & a_{42} & a_{52} & a_{62} \\ 0 & a_{23} & a_{33} & a_{43} & a_{53} & a_{63} \end{array} \right)$

の行列式は0である。上3行と下3行について Laplace 展開すると、次の式が得られる。

$\det[a_1,a_2,a_3] \det[a_4,a_5,a_6] \\ - \det[a_1,a_2,a_4] \det[a_3,a_5,a_6] \\ + \det[a_1,a_2,a_5] \det[a_3,a_4,a_6] \\ - \det[a_1,a_2,a_6] \det[a_3,a_4,a_5] \\ + \det[a_1,a_3,a_4] \det[a_2,a_5,a_6] \\ - \det[a_1,a_3,a_5] \det[a_2,a_4,a_6] \\ + \det[a_1,a_3,a_6] \det[a_2,a_4,a_5] \\ + \det[a_1,a_4,a_5] \det[a_2,a_3,a_6] \\ - \det[a_1,a_4,a_6] \det[a_2,a_3,a_5] \\ + \det[a_1,a_5,a_6] \det[a_2,a_3,a_4] \\ = 0$

行列式 $\det[a_1,a_2,a_3]$ は原点と3点 $a_1,a_2,a_3$ のなす4面体の向きつきの体積の6倍であるから、全体を $a_0$ だけ平行移動すると、4点からなる4面体の向きつきの体積を Vol と書けば、

$Vol(a_0,a_1,a_2,a_3) Vol(a_0,a_4,a_5,a_6) \\ - Vol(a_0,a_1,a_2,a_4) Vol(a_0,a_3,a_5,a_6) \\ + Vol(a_0,a_1,a_2,a_5) Vol(a_0,a_3,a_4,a_6) \\ - Vol(a_0,a_1,a_2,a_6) Vol(a_0,a_3,a_4,a_5) \\ + Vol(a_0,a_1,a_3,a_4) Vol(a_0,a_2,a_5,a_6) \\ - Vol(a_0,a_1,a_3,a_5) Vol(a_0,a_2,a_4,a_6) \\ + Vol(a_0,a_1,a_3,a_6) Vol(a_0,a_2,a_4,a_5) \\ + Vol(a_0,a_1,a_4,a_5) Vol(a_0,a_2,a_3,a_6) \\ - Vol(a_0,a_1,a_4,a_6) Vol(a_0,a_2,a_3,a_5) \\ + Vol(a_0,a_1,a_5,a_6) Vol(a_0,a_2,a_3,a_4) \\ = 0$

という公式が得られる。このままでは複雑すぎてややこしいので、次回はこの公式から派生するもう少し単純な公式を導く。

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