フィボナッチの三角形

数を三角形に並べたものはパスカルの三角形が有名だけど、数列で有名なフィボナッチの名前がついた三角形もあるらしい。

1
3	5
7	9	11
13	15	17	19
21	23	25	27	29
31	33	35	37	39	41
43	45	47	49	51	53	55

正の奇数を順番に並べたものだけれども、k 番目の行の数の平均が になり、その行には k 個の数があるので、k 行目の数の和は となる。

したがって n 行目までのフィボナッチの三角形に出てくるすべての数の和は である。一方これは 個の奇数の和なので、 に等しい。

したがって、高校数学に出てくる数列の和の公式

の別証明が得られる。