ガウス・ボンネの定理 - tkenichi の日記

とは、正則閉曲面上でガウス曲率を面積分するとオイラー標数の２Π倍になるという
$\int_S K dA = 2 \pi \chi(S)$
有名な公式。

三角形分割された曲面でこの公式を証明しようとすると、普通は三角形ごとに積分を計算して足し合わせる。この場合はそれぞれの三角形が曲がった面だから、実際に曲率が0でないので意味がある。

三角形からなる多面体を考えると、それぞれの三角形は平面上の三角形だから、曲率は0なので同じように計算することはできない。

そこで、多面体の場合に三角形ごとではなく、頂点 v ごとに曲率を、下のように定義する。

K(v) = 2Π - v の周りにある三角形の頂点の角度の和

例えば、正４面体の場合は、各頂点の周りに正三角形が３個ずつあるのでそこでの曲率は
$2\pi - 3 \frac{\pi}{3} = \pi$
である。

こうして、ガウス曲率の面積分を、この曲率の値の各頂点で和をとることに置き換える。三角形の個数を T、辺の個数を E、頂点の個数を V とすれば、三角形 t の内角の和をすべて足し合わせることになるので。
$\sum_v K(v) = \sum_v 2\pi - \sum_t (\angle) = 2\pi V - \pi T$
となる。ここで、三角形は３辺を持ちそれらはすべて多面体上で対となっているので E = 3 T /2 であるから
$\chi(S) = V - E + T = V - T /2$
となるので元のガウス・ボンネの公式が得られる。