Courant の min-max 原理を見直してみる

n次実対称行列Aの固有値を $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n$ とする。Rayleigh 商を $Q_A(x) = \frac{x^{T}Ax}{x^{T}x}$ とおいたときに、

$\max_{\dim V = k} \min_{x \in V\setminus\{0\}} Q_A(x) = \lambda_{k}$
$\min_{\dim V = k} \max_{x \in V\setminus\{0\}} Q_A(x) = \lambda_{n-k+1}$

がいわゆる min-max 原理である。ここで最初の最大、最小をとるのは、n次元ベクトル空間のk次元部分空間なので、Grassmann 多様体上の最大、最小と考えてよい。ここではもう少し明示的に、部分空間の正規直交フレームを与えるとして、Stiefel 多様体上の最大、最小と考えてみる。Stiefel 多様体は、k個の正規直交するベクトルを並べて $n \times k$ の行列と考えることができるから、