tkenichi の日記

毒舌皮肉系恥さらし日記

Newton-Raphson 法の収束の速さ

Newton-Raphson法は収束する場合は速いが、収束しない場合もある。どんな場合に収束しないのか、また収束の速さはどれくらいのものかを調べてみることにする。
実験として、
 x^3+ax+b = 0
を x=0 を初期値として Newton=Raphson 法で求めるときの収束回数を調べて a,b ともに -4.0 から 4.0 までを可視化した。

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収束した領域を赤色(収束回数で濃淡)、振動した領域を青色、発散した領域を黒色とした。収束回数が余り変化しないところと、わずかな違いで大きく変化しているところがある。振動する領域は a = 0 の負の領域の近傍にも存在している。

問題:

  1. 振動している領域を特徴付けると?
  2. 収束回数が大きく変化しているところのふるまいは?
  3. Newton 法の修正アルゴリズムでの振動領域は小さくなるか?