tkenichi の日記

毒舌皮肉系恥さらし日記

階数1の行列で摂動

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固有値の摂動の話の続き。今度は固有多項式を扱う。まず最初に準備から。

補題

A を階数が1のn次元対称行列とする。このとき、 \det(I+A) = 1 + \tr(A) が成り立つ。

補題

A を階数が1のn次元対称行列とする。このとき、あるn次元単位ベクトル v で  A = \alpha vv^{T} とかける。


固有値が既知の n 次元対称行列 X に、階数が 1 の n 次元対称行列 A を加えたときの固有多項式を考える。X の固有値 d_{1}, \cdots , d_{n} とする。すなわち、直交行列で対角化して
 P^{T}XP = \mbox{diag}(d_{1}, \cdots , d_{n}) := D
とする。

X+A の固有多項式  \det(\lambda I - X - A) を求める。
 \det(\lambda I - X - A) = \det(\lambda I - D - P^{T}AP) = \det(\lambda I - D)\det(I - (\lambda I - D)^{-1}P^{T}AP)
補題2より、  P^{T}AP = \alpha ww^{T} とかける。
 \det(\lambda I - X - A) = \det(\lambda I - D)\det(I - (\lambda I - D)^{-1}\alpha ww^{T}) = \prod(\lambda - d_{i})\det(I - (\lambda I - D)^{-1}\alpha ww^{T})
補題1より、
 \det(\lambda I - X - A) = \prod(\lambda - d_{i})(1 - \tr((\lambda I - D)^{-1}\alpha ww^{T})
 = \prod(\lambda - d_{i})(1 - \alpha \sum( \frac{w_{i}^2}{\lambda - d_i} ) )

以上をまとめると、

定理

n 次元対称行列 X を直交行列 P で対角化して P^{T}XP = \mbox{diag}(d_{1}, \cdots , d_{n}) := D とする。
階数 1 の n 次元対称行列を A とし、  P^{T}AP = \alpha ww^{T} とする。
このとき、
 \det(\lambda I - X - A) = \prod(\lambda - d_{i}) - \alpha \sum( (\lambda - d_{1}) \cdots (\lambda - d_{i-1}) w_{i}^2 \cdots (\lambda - d_{n}) )
が成り立つ

X の固有値 d が重複しているならば、X + A も d を固有値に持つ

 w_j = 0 ならば、X+A は  d_j固有値に持つ

X の固有値を小さい順に並べる。 d_1 \leq d_2 \leq \cdots \leq d_n
X+A の固有多項式 f(\lambda) = \det(\lambda I - X - A) とすると、
 f(d_i) f(d_{i+1}) \leq 0 が成り立つ。
すなわち、X+A の固有値を小さい順に並べた \mu_1 \leq \mu_2 \leq \cdots \leq \mu_nとき、
 \alpha > 0 ならば  d_i \leq \mu_i \leq d_{i+1} が成り立つ。