tkenichi の日記

毒舌皮肉系恥さらし日記

6つの辺からなる閉じた折れ線が三葉結び目になる条件

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たぶん正しいと思うので、はじめに結果を書いてしまう。

3次元空間内の6点P_1,P_2,\cdots,P_6を結んでできる閉じた折れ線が
三葉結び目になる必要十分条件
\triangle P_1 P_2 P_3\triangle P_4 P_5 P_6 がホップ絡み目
\triangle P_2 P_3 P_4\triangle P_5 P_6 P_1 がホップ絡み目
\triangle P_3 P_4 P_5\triangle P_6 P_1 P_2 がホップ絡み目
の3つが同時に成り立つ場合である。

必要条件は、対偶を考えて3つの組み合わせのうちの一つでも自明な絡み目ならば、三葉結び目ではない(自明な結び目になる)ことを示せばよい。これは、閉じた折れ線を境界とするような円板と同位相な曲面を構成することで示せる。

十分条件は、エレガントな証明を思いつかないが、段階を追って説明してみる予定です。