tkenichi の日記

毒舌皮肉系恥さらし日記

6つの辺からなる閉じた折れ線が三葉結び目になる条件(2)

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前回説明した内容の補足である。
ここでは常に
\triangle P_1 P_2 P_3\triangle P_4 P_5 P_6 がホップ絡み目 L_{123-456}
\triangle P_2 P_3 P_4\triangle P_5 P_6 P_1 がホップ絡み目 L_{234-561}
\triangle P_3 P_4 P_5\triangle P_6 P_1 P_2 がホップ絡み目 L_{345-612}
が同時に成り立つ場合を考えることにする。

補題
\triangle P_1 P_3 P_5\triangle P_2 P_4 P_6 は2成分の自明な絡み目である。

補題
ホップ絡み目 L_{123-456} のザイフェルト曲面 Z_{123-456}
\{ \triangle P_1 P_3 P_5, \triangle P_3 P_4 P_5, \triangle P_2 P_3 P_4, <br />
\triangle P_2 P_4 P_6, \triangle P_1 P_2 P_6, \triangle P_1 P_5 P_6 \}
または
\{ \triangle P_1 P_3 P_5, \triangle P_3 P_5 P_6, \triangle P_2 P_3 P_6, <br />
\triangle P_2 P_4 P_6, \triangle P_1 P_2 P_4, \triangle P_1 P_4 P_5 \}
で与えられる。

補題
6点を結んでできる閉じた折れ線のザイフェルト曲面 Z は三角形の和集合として
Z = Z_{123-456} \cup Z_{234-561} \cup Z_{345-612}
であたえられる。

これらの補題を認めると、6点を結んでできる閉じた折れ線のザイフェルト曲面 Z が、三葉結び目の最小種数のザイフェルト曲面と同相であることがわかる。
Z の1次ホモロジー群は、ホップ絡み目のザイフェルト曲面 Z_{123-456} の1次ホモロジー群から生成されることもわかる。