tkenichi の日記

毒舌皮肉系恥さらし日記

振り子と楕円関数

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単振り子は振幅が大きくないときには、単振動とみなすことができると考える。振幅が大きいときは楕円関数で記述され、周期は完全楕円積分で表すことができる。以下に簡単にまとめておく。

単振り子の運動方程式の導出

長さlの糸の先に質量mのおもりをつける。糸の固定点を原点、水平方向にx軸、鉛直方向にy軸を取って、鉛直方向からの糸のなす角をθとする。時間に関する微分を変数の上にドットをつけて表す。

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質点の座標 (x,y) と角θの間の関係式は、
 x = l \sin(\theta), y = l \cos(\theta)
 \dot{x} = l \dot{\theta} \cos(\theta) = y \dot{\theta}, \dot{y} = - l \dot{\theta} \sin(\theta) = - x \dot{\theta}
 \ddot{x} = \dot{y} \dot{\theta} + y \ddot{\theta}, \ddot{y} = - \dot{x} \dot{\theta} - x \ddot{\theta}
から
 \dot{\theta} = \frac{1}{l^2}(y\dot{x}-x\dot{y})
 \ddot{\theta} = \frac{1}{l^2}(y\ddot{x}-x\ddot{y})
が成り立つ。

糸の張力をT、重力をgとすると、それぞれの方向の運動方程式
 m\ddot{x} = -T \sin(\theta) \\ m\ddot{y} = mg - T \cos(\theta)
となる。上の関係式からθの微分方程式にすると
 \ddot{\theta} = -\frac{g}{l} \sin(\theta) = -\omega^2 \sin(\theta)
になる。ここで  \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} とした。

振幅の大きいとき

振幅が大きいとき、 \theta \simeq \sin(\theta) という近似を行わずに計算する。
 \ddot{\theta} + \omega^2 \sin\theta = 0 の両辺に  \dot{\theta} をかけて変形すると
 \dot{\theta}\ddot{\theta} + \dot{\theta} \omega^2 \sin \theta = 0
 \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} (\dot{\theta})^2 - \omega^2 \cos \theta \right) = 0
 \frac{1}{2} (\dot{\theta})^2 - \omega^2 \cos \theta = \mbox{constant}
 \thetaの最大値(すなわち振幅)を \alphaとすると、 \theta = \alphaのとき \dot{\theta} = 0なので、
 \frac{1}{2} (\dot{\theta})^2 - \omega^2 \cos \theta = -\omega^2 \cos \alpha
 \frac{1}{2} (\dot{\theta})^2 = \omega^2 \cos \theta -\omega^2 \cos \alpha = 2\omega^2(\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2})
 \dot{\theta}>0 の範囲で
 \dot{\theta} = 2 \omega \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}}
を得る。ここで、 k = \sin \frac{\alpha}{2} とおいて、 \sin\frac{\theta}{2} = k\sin \phiで変数変換すると、
 \cos\frac{\theta}{2}d\theta = k\cos\phi d\phi
より
 d\theta = \frac{2k\cos\phi}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}} d\phi
を得る。もとの微分方程式に変数変換を適用すると
 d\theta = 2 \omega \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}}dt
 \frac{2k\cos\phi}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}} d\phi = 2 \omega \sqrt{k^2 - k^2 \sin^2 \phi}dt
 \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}\phi}} d\phi = \omega dt
となって、両辺を積分すると、第1種楕円積分を用いて
 F(k,\phi) = \omega t
が得られる。kを母数とする第1種楕円積分逆関数、Jacobiの楕円関数を用いて
 \phi = \mbox{am}(\omega t)
 k \sin \phi = k \sin( \mbox{am}(\omega t) )
 \sin \frac{\theta}{2} = k \mbox{sn}(\omega t)
が得られる。

単振り子 単振動
振幅  \alpha \\ (k = \sin \frac{\alpha}{2})  \alpha
方程式  \ddot{\theta} = -\omega^2 \sin\theta  \ddot{\theta} = -\omega^2 \theta
t=0のとき\theta=0の解  \theta = 2\sin^{-1}(k\mbox{sn}(\omega t))  \theta = \alpha\sin(\omega t)
t=0のとき\theta=0導関数  \dot{\theta} = 2\omega k \mbox{cn}(\omega t)  \dot{\theta} = \omega \alpha \cos(\omega t)
周期  \frac{4}{\omega}K(\sin\frac{\alpha}{2})  \frac{2\pi}{\omega}