tkenichi の日記

毒舌皮肉系恥さらし日記

方程式で定義された曲面の曲率

Math

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通常、曲面の曲率はパラメータ表示が与えられた時の式で与えられているが、実際の曲面は方程式としてあらわされることが多い。そこで、方程式が与えられているときの曲率の計算式をまとめておこう。

関数 f : \bf{R}^3 \to \bf{R} が与えられているとき、方程式 f(x,y,z) = 0 で表される曲面の曲率は以下のように計算できる。

ガウス曲率

K = \frac{1}{|\nabla f|^4} \{ f_{x}^2(f_{yy}f_{zz}-f_{yz}^2) + 2f_{y}f_{z}(f_{zx}f_{xy} -f_{xx}f_{yz}) \\ + f_{y}^2(f_{zz}f_{xx}-f_{zx}^2) + 2f_{z}f_{x}(f_{xy}f_{yz} -f_{yy}f_{zx}) \\ + f_{z}^2(f_{xx}f_{yy}-f_{zx}^2) + 2f_{x}f_{y}(f_{yz}f_{zx} -f_{zz}f_{xy}) \}

平均曲率

H = -\frac{1}{2|\nabla f|^3} \{ f_{xx}(f_{y}^2 + f_{z}^2) - 2f_{y}f_{z}f_{yz} \\ + f_{yy}(f_{z}^2 + f_{x}^2) - 2f_{z}f_{x}f_{zx} \\ + f_{zz}(f_{x}^2 + f_{y}^2) - 2f_{x}f_{y}f_{xy} \}