tkenichi の日記

毒舌皮肉系恥さらし日記

リーマン計量の差の変分2

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前回の続き。まずは記号の定義。
(M,g_M)をリーマン多様体f:N \rightarrow Mをコンパクト多様体Nからのはめ込みとする。はめ込みで誘導されるリーマン計量を(N,f^{*}(g) =: g_N)とする。Mに定義されるLevi-Civita接続は、以下を満たす接ベクトル束の接続である。\nabla^{M}_{X}Xによる共変微分という。

  1. \nabla^{M}_{X+Y}(Z) = \nabla^{M}_{X}Z + \nabla^{M}_{Y}Z
  2. \nabla^{M}_{fX}(Y) = f\nabla^{M}_{X}Y
  3. \nabla^{M}_{X}(Y+Z) = \nabla^{M}_{X}Y + \nabla^{M}_{X}Z
  4. \nabla^{M}_{X}(fY) = (\nabla^{M}_{X}f)Y + f\nabla^{M}_{X}Y
  5. \nabla^{M}_{X}(Y) - \nabla^{M}_{Y}(X) = [X,Y]
  6. \nabla^{M}_{X}\langle Y,Z\rangle = \langle\nabla^{M}_{X}(Y),Z\rangle + \langle Y,\nabla^{M}_{X}(Z)\rangle

Mのリーマン計量から、N上のMの接ベクトル束TM|_{N}=f^{*}(TM)Nに接する方向と直交方向に分解できる。T_{p}M = T_{p}N \oplus T_{p}N^{\perp}として、この成分への分解をX = X^{T} + X^{\perp}のように書く。
N上の接ベクトルをM上の接ベクトルとみなして、共変微分したもののNに接する成分は(N,g_N)のLevi-Civita接続を与える。

\nabla^{N}_{X}(Y) = \nabla^{M}_{X}(Y)^{T}

直交成分は第2基本形式を与える。

B(X,Y) = \nabla^{M}_{X}(Y)^{\perp}

平均曲率ベクトルは第2基本形式のトレースである。

H = \mathrm{trace}(B)


Nの直交方向の変分を考え、変分パラメータ\epsilonによる変分ベクトル場を\xiとする。\xiN上のTN^{\perp}の切断とみなせる。このとき、Nのベクトル場Xに対して、\langle X, \xi \rangle = 0および、\nabla^{M}_{\xi}X = \nabla^{M}_{X}\xiに注意する。変分に沿ってX,YNの近傍で定義されたMのベクトル場とする。このとき、N上で次の式が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \langle X,Y \rangle & = & \nabla^{M}_{\xi} \langle X,Y \rangle \\
& = & \langle \nabla^{M}_{\xi}X,Y \rangle + \langle X,\nabla^{M}_{\xi}Y \rangle \\
& = & \langle \nabla^{M}_{X}\xi,Y \rangle + \langle X,\nabla^{M}_{Y}\xi \rangle \\
& = & - \langle \xi,\nabla^{M}_{X}Y \rangle - \langle \nabla^{M}_{Y}X,\xi \rangle \\
& = & - 2 \langle \xi,B(X,Y) \rangle \\
\end{eqnarray}

一般の線形代数の話で、正方行列に値を持つ関数A(t)を考える。このとき、\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \det(A(t)) = \mathrm{trace}(\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(A(t))) \det(A(0)) に注意する。

\begin{eqnarray}
\left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \det(g_N(\epsilon)) & = & \mathrm{trace}\left(\left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}(g_N(\epsilon))\right) \det(g_N) \\ 
& = & -2 \langle \xi, \mathrm{trace}(B) \rangle \det(g_N) \\
& = & -2 \langle \xi, H \rangle \det(g_N) \\
\end{eqnarray}


\left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \det(g_N(\epsilon))^{\frac{1}{2}} = - \langle \xi, H \rangle \det(g_N)^{\frac{1}{2}}

すなわち、「はめ込まれた多様体の面積の法線方向の第1変分は平均曲率である」ことがわかった。*1

*1:局所座標表示を使わずに示せた