等スペクトル

ラプラシアンの幾何と有限要素法 (朝倉数学大系)

この本にインスパイアされて、ほんとに等スペクトルか確かめてみたくなりました。

いわゆるカッツの問題のチャップマンによる例である。
単体分割を細かくした数値例が巻末に載っているのですが、ここではこの図のとおりの単体分割をして、離散幾何として固有値を計算してみた。頂点の個数は９個だから、ディリクレ境界条件なしで考えると９次の正方行列の固有値を計算すればいいので、専用のソフトじゃなくても十分計算できる。

すると、

• 36.000000
• 27.090987
• 16.229760
• 12.000000
• 9.188869
• 5.473727
• 4.919462
• 1.043797
• 0.000000

となり、きれいに一致。グラフのラプラシアンとして固有値を計算すると全然違うから面白い。なぜだろう？？