曲げのエネルギー - tkenichi の日記

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曲面の曲げのエネルギーは平均曲率の2乗を積分したものとして与えられる。

$E = \frac{1}{2}\int_{S} H^{2} da$

平均曲率は第二基本形式の固有値の平均値と定義されるが、幾何学的には曲面を法線ベクトル方向に膨らませたときに変化する曲面の面積の1次微分である。2次微分がガウス曲率とみなせる。

ポリゴンに対して離散的に計算する方法を考える。ポリゴン上に曲率を考える場合、ガウス曲率は点上のスカラー値として与えられ、平均曲率は辺上のベクトル値として与えられると考えられる。
曲面の曲げエネルギーは例えば http://mrl.nyu.edu/~dzorin/papers/wardetzky2007dqb.pdf (Wardetzky) に isometric bending model としてラプラシアンから導かれたものが提示されている。他に平均曲率Hの評価方法としては、
http://torus.math.uiuc.edu/jms/Papers/dscrv.pdf (Sullivan) に与えられている。計算してみると実はこれは等価なものだった。

Isometric bending model の図と合わせて、
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上の図のように頂点と向きづけられた辺を考える。前者のWardetzkyの方法は曲げのエネルギーを積分として与えているため、この通りの式ではないが、被積分関数を計算して整理すると、平均曲率は次の式で評価している。

$H = \cot\alpha_3 e_1 + \cot\alpha_4 e_2 + \cot\alpha_1 e_3 + \cot\alpha_2 e_4$

一方、Sullivanでは、三角形の法線ベクトル $\nu_i$ を用いて次のように評価している。

$H = e_0 \times \nu_0 - e_0 \times \nu_1$

これらが一致することを以下に示す。三角形の面積を $A_i$ とする。

$\begin{eqnarray} e_0 \times \nu_0 - e_0 \times \nu_1 & = & e_0 \times (e_3 \times e_1) / |e_3 \times e_1| - e_0 \times (e_2 \times e_4) / |e_2 \times e_4| \\ & = & \frac{(e_0 \cdot e_1)e_3 - (e_0 \cdot e_3)e_1}{2 A_0} - \frac{(e_0 \cdot e_4)e_2 - (e_0 \cdot e_2)e_4}{2 A_1} \\ & = & \frac{|e_0||e_1|\cos\alpha_1 e_3 + |e_0||e_3|\cos\alpha_3 e_1}{2 A_0} + \frac{|e_0||e_4|\cos\alpha_4 e_2 + |e_0||e_2|\cos\alpha_2 e_4}{2 A_1} \\ & = & \frac{|e_0||e_1|\cos\alpha_1}{|e_0||e_1|\sin\alpha_1} e_3 + \frac{|e_0||e_3|\cos\alpha_3}{|e_0||e_3|\sin\alpha_3} e_1 + \frac{|e_0||e_4|\cos\alpha_4}{|e_0||e_4|\sin\alpha_4} e_2 + \frac{|e_0||e_2|\cos\alpha_2}{|e_0||e_2|\sin\alpha_2} e_4\\ & = & \cot\alpha_1 e_3 + \cot\alpha_3 e_1 + \cot\alpha_4 e_2 + \cot\alpha_2 e_4 \end{eqnarray}$