2016-01-18

リーマン計量の差の変分３

Math

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連続体力学の概念とリーマン幾何の概念の対応を考えてみる。 $\phi:(M_L,g_L) \to (M_E,g_E)$ をリーマン多様体の間*1の微分同相写像とする。この写像は等長的（すなわち $\phi^{*}(g_E) = g_L$ ）であることは仮定せずに、等長的なものからどれくらい離れているかを考える。

接ベクトル束に定義される微分写像を $\phi_* : TM_L \to TM_E$ とする。これは連続体力学では変形勾配テンソルと呼ばれる。

接ベクトル束の間の束写像 $\psi : TM_L \to TM_E$ についてリーマン計量によって転置写像 $\psi^T : TM_E \to TM_L$ が定義される。

$g_E(\psi^T(v),u) = g_L(v,\psi(u))$

また、自分自身への束写像 $\psi : TM \to TM$ が対称であるとは

$g(\psi(v),u) = g(v,\psi(u))$

が成り立つ場合とし、正定値であるとは $u \neq 0$ について

$g(\psi(u),u) > 0$

が成り立つことをいう。

微分写像 $\phi_* : TM_L \to TM_E$ とその転置から

$C: TM_L \xrightarrow{\phi_*} TM_E \xrightarrow{\phi_*^T} TM_L$
$B: TM_E \xrightarrow{\phi_*^T} TM_L \xrightarrow{\phi_*} TM_E$

なる自分自身への束写像が定義できる。これらは正定値対称である。連続体力学では $C$ を右Cauchy-Green変形テンソル、 $B$ を左Cauchy-Green変形テンソルという。

微分写像 $\phi_* : TM_L \to TM_E$ は正定値対称写像と直交写像に分解できる。

$\phi_* : TM_L \xrightarrow{R} TM_E \xrightarrow{V} TM_E$
$\phi_* : TM_L \xrightarrow{U} TM_L \xrightarrow{R} TM_E$

$U$ と $V$ は正定値対称写像であり、 $R$ は直交写像である。 $R$ は右分解と左分解に共通の直交写像である。次の図式は可換である。

$\begin{array}{ccc} TM_L & \xrightarrow{R} & TM_E \\ \downarrow \small{U} & \circlearrowleft & \downarrow \small{V} \\ TM_L & \xrightarrow{R} & TM_E \end{array}$

直交写像 $R$ は次の図式も可換にする。

$\begin{array}{ccc} TM_L & \xrightarrow{R} & TM_E \\ \downarrow \small{\phi_{*}} & \circlearrowleft & \downarrow \small{\phi_{*}^{T}} \\ TM_E & \xrightarrow{R^{T}} & TM_L \\ \downarrow \small{\phi_{*}^{T}} & \circlearrowleft & \downarrow \small{\phi_{*}} \\ TM_L & \xrightarrow{R} & TM_E \end{array}$

また、 $U = C^{1/2}$ および $V = B^{1/2}$ である。平方根は正定値対称テンソルの値をとるという意味で一意に決まる。 $f_U(x) = x^{1/2}$ を $x=1$ の周りでマクローリン展開すると、 $f_U(x) = 1 + 1/2(x-1) + O(x^2)$ である。これを使って $U = f_U(C) = 1 + 1/2(C-1) + O(C^2)$ を得る。同様に $f_V(x) = x^{-1/2}$ を $x=1$ の周りでマクローリン展開すると、 $f_V(x) = 1 - 1/2(x-1) + O(x^2)$ である。これを使って $V = f_V(B^{-1}) = 1 - 1/2(B^{-1}-1) + O(B^{-2}) = 1 + 1/2(1-B^{-1}) + O(B^{-2})$ を得る。それぞれの1次の項 $1/2(C-1)$ 、 $1/2(1-B^{-1})$ を連続体力学では Lagrange 歪、Euler 歪と呼ぶ。

リーマン幾何	連続体力学
微分写像 $\phi_*$	変形勾配テンソル $F$
$C=\phi_^T \circ \phi_$	右Cauchy-Green変形テンソル
$B=\phi_* \circ \phi_*^T$	左Cauchy-Green変形テンソル
$\phi_* = R \circ U$ 右極分解したときの $U$	右ストレッチテンソル
$\phi_* = V \circ R$ 左極分解したときの $V$	左ストレッチテンソル
$U$ を $C$ でマクローリン展開した時の1次の項 $1/2(C-1)$	Lagrange 歪
$V$ を $B^{-1}$ でマクローリン展開した時の1次の項 $1/2(1-B^{-1})$	Euler 歪

*1:LはLagrange表示、EはEuler表示を意図している

2015-06-27

リーマン計量の差の変分2

Math

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前回の続き。まずは記号の定義。
$(M,g_M)$ をリーマン多様体、 $f:N \rightarrow M$ をコンパクト多様体 $N$ からのはめ込みとする。はめ込みで誘導されるリーマン計量を $(N,f^{*}(g) =: g_N)$ とする。 $M$ に定義されるLevi-Civita接続は、以下を満たす接ベクトル束の接続である。 $\nabla^{M}_{X}$ を $X$ による共変微分という。

$\nabla^{M}_{X+Y}(Z) = \nabla^{M}_{X}Z + \nabla^{M}_{Y}Z$

$\nabla^{M}_{fX}(Y) = f\nabla^{M}_{X}Y$

$\nabla^{M}_{X}(Y+Z) = \nabla^{M}_{X}Y + \nabla^{M}_{X}Z$

$\nabla^{M}_{X}(fY) = (\nabla^{M}_{X}f)Y + f\nabla^{M}_{X}Y$

$\nabla^{M}_{X}(Y) - \nabla^{M}_{Y}(X) = [X,Y]$

$\nabla^{M}_{X}\langle Y,Z\rangle = \langle\nabla^{M}_{X}(Y),Z\rangle + \langle Y,\nabla^{M}_{X}(Z)\rangle$

$M$ のリーマン計量から、 $N$ 上の $M$ の接ベクトル束 $TM|_{N}=f^{*}(TM)$ は $N$ に接する方向と直交方向に分解できる。 $T_{p}M = T_{p}N \oplus T_{p}N^{\perp}$ として、この成分への分解を $X = X^{T} + X^{\perp}$ のように書く。
$N$ 上の接ベクトルを $M$ 上の接ベクトルとみなして、共変微分したものの $N$ に接する成分は $(N,g_N)$ のLevi-Civita接続を与える。

$\nabla^{N}_{X}(Y) = \nabla^{M}_{X}(Y)^{T}$

直交成分は第2基本形式を与える。

$B(X,Y) = \nabla^{M}_{X}(Y)^{\perp}$

平均曲率ベクトルは第2基本形式のトレースである。

$H = \mathrm{trace}(B)$

$N$ の直交方向の変分を考え、変分パラメータ $\epsilon$ による変分ベクトル場を $\xi$ とする。 $\xi$ は $N$ 上の $TN^{\perp}$ の切断とみなせる。このとき、 $N$ のベクトル場 $X$ に対して、 $\langle X, \xi \rangle = 0$ および、 $\nabla^{M}_{\xi}X = \nabla^{M}_{X}\xi$ に注意する。変分に沿って $X,Y$ を $N$ の近傍で定義された $M$ のベクトル場とする。このとき、 $N$ 上で次の式が成り立つ。

$\begin{eqnarray} \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \langle X,Y \rangle & = & \nabla^{M}_{\xi} \langle X,Y \rangle \\ & = & \langle \nabla^{M}_{\xi}X,Y \rangle + \langle X,\nabla^{M}_{\xi}Y \rangle \\ & = & \langle \nabla^{M}_{X}\xi,Y \rangle + \langle X,\nabla^{M}_{Y}\xi \rangle \\ & = & - \langle \xi,\nabla^{M}_{X}Y \rangle - \langle \nabla^{M}_{Y}X,\xi \rangle \\ & = & - 2 \langle \xi,B(X,Y) \rangle \\ \end{eqnarray}$

一般の線形代数の話で、正方行列に値を持つ関数 $A(t)$ を考える。このとき、 $\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \det(A(t)) = \mathrm{trace}(\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(A(t))) \det(A(0))$ に注意する。

$\begin{eqnarray} \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \det(g_N(\epsilon)) & = & \mathrm{trace}\left(\left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}(g_N(\epsilon))\right) \det(g_N) \\ & = & -2 \langle \xi, \mathrm{trace}(B) \rangle \det(g_N) \\ & = & -2 \langle \xi, H \rangle \det(g_N) \\ \end{eqnarray}$

$\left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} \det(g_N(\epsilon))^{\frac{1}{2}} = - \langle \xi, H \rangle \det(g_N)^{\frac{1}{2}}$

すなわち、「はめ込まれた多様体の面積の法線方向の第1変分は平均曲率である」ことがわかった。*1

*1:局所座標表示を使わずに示せた

2015-06-20

リーマン計量の差の変分

Math

f:id:tkenichi:20150607101243j:plain

自分なりの回答にはまだたどり着いていないのだけれど、問題の動機づけとその整理をしておく。

$(M,g_M)$ をリーマン多様体、 $f:N \rightarrow M$ をコンパクト多様体 $N$ からのはめ込みとする。はめ込みで誘導されるリーマン計量を $(N,f^{*}(g) =: g_N)$ とする。 $N$ にもともと与えられているリーマン計量を $(N,h_N)$ とする。はめ込みは等長的( $h_N=g_N$ )とは限らない。はめ込みの変分を $\phi : U=(-\epsilon,\epsilon) \times N \rightarrow M$ とする。このとき、 $\phi|_{0 \times N} = f$ とする。 $U$ 上で定義されている誘導された計量を $\phi^{*}(g)=:g_U$ 、直積集合に自明に定義された計量を $1 \times h_N =: h_U$ とする。

汎関数	第1変分
$N$ の面積	$-\int_N \langle H,\xi \rangle dvol(g_N)$
リーマン計量の差 $g_U-h_U$	?

ただし、 $H$ は平均曲率ベクトル、 $\xi$ は変分ベクトル場である。
$M$ が3次元、 $N$ が2次元の時の類推で、一般的な体積を $M$ については「体積」、 $N$ については「面積」と呼んでいる。前者の第1変分の式は平均曲率が0ならば極小曲面になることの証明の中で与えられる。後者の汎関数は $h_U$ については直積計量なので変分は0、 $g_U$ については、 $N$ の面積の変分と同様の計算ができるはずである。

リーマン計量の差とは写像がどれくらい等長写像から離れているかを見るもの、すなわちひずみである。固体の変形エネルギーがひずみで、平面の変形エネルギーが平均曲率で与えられることの関係の数学的な説明をつけようというのがこの動機づけである。

2015-05-23

曲げのエネルギー

Math

f:id:tkenichi:20150517104524j:plain

曲面の曲げのエネルギーは平均曲率の2乗を積分したものとして与えられる。

$E = \frac{1}{2}\int_{S} H^{2} da$

平均曲率は第二基本形式の固有値の平均値と定義されるが、幾何学的には曲面を法線ベクトル方向に膨らませたときに変化する曲面の面積の1次微分である。2次微分がガウス曲率とみなせる。

ポリゴンに対して離散的に計算する方法を考える。ポリゴン上に曲率を考える場合、ガウス曲率は点上のスカラー値として与えられ、平均曲率は辺上のベクトル値として与えられると考えられる。
曲面の曲げエネルギーは例えば http://mrl.nyu.edu/~dzorin/papers/wardetzky2007dqb.pdf (Wardetzky) に isometric bending model としてラプラシアンから導かれたものが提示されている。他に平均曲率Hの評価方法としては、
http://torus.math.uiuc.edu/jms/Papers/dscrv.pdf (Sullivan) に与えられている。計算してみると実はこれは等価なものだった。

Isometric bending model の図と合わせて、
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上の図のように頂点と向きづけられた辺を考える。前者のWardetzkyの方法は曲げのエネルギーを積分として与えているため、この通りの式ではないが、被積分関数を計算して整理すると、平均曲率は次の式で評価している。

$H = \cot\alpha_3 e_1 + \cot\alpha_4 e_2 + \cot\alpha_1 e_3 + \cot\alpha_2 e_4$

一方、Sullivanでは、三角形の法線ベクトル $\nu_i$ を用いて次のように評価している。

$H = e_0 \times \nu_0 - e_0 \times \nu_1$

これらが一致することを以下に示す。三角形の面積を $A_i$ とする。

$\begin{eqnarray} e_0 \times \nu_0 - e_0 \times \nu_1 & = & e_0 \times (e_3 \times e_1) / |e_3 \times e_1| - e_0 \times (e_2 \times e_4) / |e_2 \times e_4| \\ & = & \frac{(e_0 \cdot e_1)e_3 - (e_0 \cdot e_3)e_1}{2 A_0} - \frac{(e_0 \cdot e_4)e_2 - (e_0 \cdot e_2)e_4}{2 A_1} \\ & = & \frac{|e_0||e_1|\cos\alpha_1 e_3 + |e_0||e_3|\cos\alpha_3 e_1}{2 A_0} + \frac{|e_0||e_4|\cos\alpha_4 e_2 + |e_0||e_2|\cos\alpha_2 e_4}{2 A_1} \\ & = & \frac{|e_0||e_1|\cos\alpha_1}{|e_0||e_1|\sin\alpha_1} e_3 + \frac{|e_0||e_3|\cos\alpha_3}{|e_0||e_3|\sin\alpha_3} e_1 + \frac{|e_0||e_4|\cos\alpha_4}{|e_0||e_4|\sin\alpha_4} e_2 + \frac{|e_0||e_2|\cos\alpha_2}{|e_0||e_2|\sin\alpha_2} e_4\\ & = & \cot\alpha_1 e_3 + \cot\alpha_3 e_1 + \cot\alpha_4 e_2 + \cot\alpha_2 e_4 \end{eqnarray}$

2015-05-05

多面体を三角形分割3.1

Math

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多面体の三角形分割から導かれる簡単な系。

トーラス結び目 $K_{p,q}$ で $p=m, q=m-1$ のものについては、 $n=2m$ の多角形表示が存在することが知られている。 $K_{3,2}$ はいわゆる Trefoil Knot で、6角形表示がある。 $K_{4,3}$ T(4,3) - Knot Atlas は8角形表示がある。この種数は3であり、その種数を与える Seifert 曲面のオイラー数は-5である。8角形の向きづけ可能な三角形分割で、オイラー数-5を与えるものは三角形の数が18である。全列挙した結果、そのようなものは存在しないことがわかった。さらに大きな種数を与えるものも存在しない。従って、以下のことが言える。

$K_{4,3}$ の8角形表示について、頂点を追加せずに Seifert 曲面の三角形分割を与えることはできない。

2015-04-19

多角形を三角形分割３

Math

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多角形を三角形分割 - tkenichi の日記の多角形の三角形分割の表を久しぶりに更新する。多様体かどうかを判定するアルゴリズムを見直して少し速くなった。

オイラー数	向きづけ可能性	3	4	5	6	7	8	9	一般形
1	T	1	2	5	14	42	132	429	カタラン数 http://oeis.org/A000108
0	F	0	0	1	14	113	720	4033	http://oeis.org/A007817
-1	T	0	0	0	2	70	1144	12354	?
-1	F	0	0	0	0	112	2400	28593	?
-2	F	0	0	0	0	0	3944	150819	?
-3	T	0	0	0	0	0	0	22230	?
-3	F	0	0	0	0	0	1772	327294	?
-4	F	0	0	0	0	0	32	324387	?
-5	T	0	0	0	0	0	0	1014	?
-5	F	0	0	0	0	0	0	89046	?
-6	T	0	0	0	0	0	0	1244	?
合計		1	2	6	30	337	10144	961443	?