穴あき曲面の展開 - tkenichi の日記

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閉曲面（いわゆる境界のないコンパクトな曲面）の分類はよく知られていて、曲面に切れ目を入れて展開した多角形を張り合わせることで表現することができる。向き付け可能な場合は球面またはg個のトーラスの連結和として表すことができ、多角形の張り合わせで表現する場合は、以下のようになる。

$a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}$

向き付け不可能な場合は、射影空間のk個の連結和としてあらわすことができる。多角形の張り合わせで表現する場合は、以下のようになる。

$a_1 a_1 \cdots a_k a_k$

さて、閉曲面から開円板を取り除いた境界つきの曲面の多角形表現を考えよう。ここでは、展開した多角形の頂点（張り合わせたときに曲面上の１点になる）を含むように開円板をとる。すなわち、開円板の境界が展開した多角形のすべての辺と交叉する場合を考える。向き付け可能な場合は以下のようになる。

$a_1 d_{2g} b_1 d_{(2g-1)} a_1^{-1} d_{(2g-2)} b_1^{-1} d_{(2g-3)} \cdots a_g d_4 b_g d_3 a_g^{-1} d_2 b_g^{-1} d_1$

向き付け不可能な場合は以下のようになる。

$a_1 d_1 a_1 d_2^{-1} \cdots a_k d_{(2k-1)} a_k d_{(2k)}^{-1}$

拡張された三角形分割の個数を数えるには、境界つきの曲面の多角形表現で、境界上にすべての頂点があるような場合で、展開した多角形を平面上の三角形分割すればよい。ただし、重複するものが現れるので、それを除く必要がある。