運動量の復習 - tkenichi の日記

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シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ にリー群 $G$ が $\omega$ を保つように作用しているとする。運動量写像とは $M$ からリー環の双対 $\mathcal{G}^{*}$ への写像
$\mu: M \rightarrow \mathcal{g}^{*}$
であって、 $G$ 同変かつ、リー環の元 $\xi \in \mathcal{G}$ に対して、
$\mu_{\xi} = \xi \circ \mu : M \to \mathcal{G}^{*} \to \mathbf{R}$ と置くとき、
$d \mu_{\xi} = i_{\xi^{\sharp}} \omega$
が成り立つものをいう。ただしここで $\xi^{\sharp}$ はリー環の基本ベクトル場である。
後半の条件の言いかえとして、 $\mu_{\xi}$ のハミルトンベクトル場が $\xi^{\sharp}$ と言ってもよい。

例１：
$\mathbf{R}^3$ の余接空間 $T^{*}\mathbf{R}^3$ の座標を底空間を $q$ 余接ベクトルを $p$ として $(q_1,q_2,q_3,p_1,p_2,p_3) = (q,p)$ とする。シンプレクティック構造を $\omega = dq\wedge dp$ とする。
$G=\mathbf{R}^3$ の作用を底空間の平行移動とする。 $G \ni s = (s_1,s_2,s_3)$ とするとき、 $s \cdot (q,p) = (q+s,p)$ 。この時運動量写像は $\mu: T^{*}\mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}^3, (q,p) \mapsto p$ で与えられる。

例２：
$(\mathbf{R}^2, dx_1 \wedge dx_2)$ に対して、回転群

$SO(2) = \left\{ \left( \begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) \right\}$

が作用しているとする。リー環とその双対を

$so(2) = \left\{ \left( \begin{array}{cc} 0 & -a \\ a & 0 \end{array} \right) \right\}$
$so^{*}(2) = \left\{ \left( \begin{array}{cc} 0 & -b \\ b & 0 \end{array} \right) \right\}$
$so(2) \times so^{*}(2) : <\xi, \eta> = \frac{1}{2} \mbox{tr}( \xi \eta^{t} )$

とすると運動量写像は
$\mu : \mathbf{R}^2 \to so^{*}(2), (x,y) \mapsto \frac{1}{2}(x^2+y^2) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$
で与えられる。