3次元空間内の三角形の位置関係に関する公式

さて、前回の日記で3次元空間内の6点に関する体積公式

を導いてみた。このそれぞれの成分の積の後の項を取り出してみよう。

☆

という2点に対して という3点のうちの2点を使った4面体の体積になる。

これは三角形 と を通る直線の関係を表していて、これら☆がすべて同符号であることと、直線が三角形を貫くことは同値である。ちなみに「線分」 が三角形を貫くためには、さらに が異符号でなければならない。

上記の公式から、☆がすべて同符号であるときには、 は異符号でなければならない。つまり、直線 が三角形 を貫いている場合には、 とは異なる任意の点 を取ると、これら3点のなす平面について、三角形の3頂点が同じ側にはないことを示している。直感的には明らかですが、証明しようとすると結構面倒。