７点（と６点）からなる４面体の体積に関する公式（その２）

前回導いた公式の派生系をいくつか作ってみよう。

前回と同じように、 $a_1,\cdots,a_6$ を3次元空間内の6点として、それぞれを3次元ベクトルとして $a_i = (a_{i1},a_{i2},a_{i3} )$ とあらわす。Laplace 展開の対象を変えて、次の行列

$\left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} & a_{51} & a_{61} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & a_{42} & a_{52} & a_{62} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{43} & a_{53} & a_{63} \\ 0 & 0 & a_{31} & a_{41} & a_{51} & a_{61} \\ 0 & 0 & a_{32} & a_{42} & a_{52} & a_{62} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{43} & a_{53} & a_{63} \end{array} \right)$

を考える。この行列式も0になる。なぜなら下3行で上3行を掃き出せば、上3行は2列だけが非零になってランクが2以下になるからである。さて、この行列を上3行と下3行で Laplace 展開すると、次の式が得られる。

$\det[a_1,a_2,a_3] \det[a_4,a_5,a_6] \\ - \det[a_1,a_2,a_4] \det[a_3,a_5,a_6] \\ + \det[a_1,a_2,a_5] \det[a_3,a_4,a_6] \\ - \det[a_1,a_2,a_6] \det[a_3,a_4,a_5] \\ = 0$

ずっと単純になった。つまり昨日の公式で現れた10項のうち最初の4項だけ取り出しても和が 0 になる(当然後の6項の和も0になる)ということ。公式としてはこちらのほうが強い。下3行の1列目と2列目を0にして導いたが、任意の2列を0にして同様の公式が導ける。

全体を $a_0$ だけ平行移動して、4点からなる4面体の向きつきの体積に関する公式として書き下すと、

$Vol(a_0,a_1,a_2,a_3) Vol(a_0,a_4,a_5,a_6) \\ - Vol(a_0,a_1,a_2,a_4) Vol(a_0,a_3,a_5,a_6) \\ + Vol(a_0,a_1,a_2,a_5) Vol(a_0,a_3,a_4,a_6) \\ - Vol(a_0,a_1,a_2,a_6) Vol(a_0,a_3,a_4,a_5) \\ = 0$

という公式が得られる。

ちなみに残りの6項の和が0となるという公式は

$\left( \begin{array}{cccccc} a_{11} & 0 & a_{31} & a_{41} & a_{51} & a_{61} \\ a_{12} & 0 & a_{32} & a_{42} & a_{52} & a_{62} \\ a_{13} & 0 & a_{33} & a_{43} & a_{53} & a_{63} \\ 0 & a_{21} & a_{31} & a_{41} & a_{51} & a_{61} \\ 0 & a_{22}& a_{32} & a_{42} & a_{52} & a_{62} \\ 0 & a_{23} & a_{33} & a_{43} & a_{53} & a_{63} \end{array} \right)$